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Bei der Championsleague-Achtelfinalauslosung gibt es Einschränkungen: Es sollen keine Teams gegeneinander spielen, die bereits in einer Gruppe waren oder die aus einem Land kommen. Es soll immer ein Erster gegen einen Zweiten spielen. Das ergibt spannende Voraussetzungen für die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Standpunkt bei der Aufgabe ist der Koordinatenursprung. Von hier aus sind längst nicht alle Punkte mit ganzzahligen Koordinaten zu sehen, denn manche Punkte verdecken andere Punkte. In diesem Film wird gezeigt, wie man die Anzahl der Punkte errechnen kann, die in der kompletten Ebene sichtbar sind.
Es gibt eine große Menge an Konzepten für den Umgang mit komplexen Zahlen. Dieser Song gibt einen guten Überblick über die entsprechenden Formeln und erklärt, wie man sie leicht im Kopf behalten kann. Der Refrain bietet die Grundlagen, während die Details in den gerappten Strophen erläutert werden.
Bei der Partialbruchzerlegung können verschiedene Sonderfälle auftreten, die die Nullstellen des Nenner-Polynoms betreffen. Der eingängige Song erläutert, wie man mit einfach und mehrfach reellen sowie mit einfach und mehrfach komplexen Fällen umgeht, und rechnet dafür verschiedene Beispiele vor.
Was unterscheidet ein bestimmtes Integral von einem unbestimmten Integral, und unter welchen Umständen ist es jeweils negativ? Die Definition dieser beiden Mathematik-Begriffe wird in einem Song verpackt, der wegen seiner Ohrwurm-Qualitäten dafür sorgt, dass kein Schüler sie jemals wieder vergisst.
Wie bearbeitet man lineare Funktionen? Dieser eingängige Rap erläutert das Ablesen von Nullstellen aus der Gleichung, den Anstieg der linearen Funktion, welchen Einfluss einzelne Parameter haben, wo die Schnittpunkte mit den Achsen liegen und wie man die Funktion mit nur zwei gegebenen Punkten findet.
Die Wurzel aus 2 ist irrational, das heißt, sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Ihr Kehrwert beträgt immer die Hälfte der Wurzel aus 2. Während sich nicht einfach mit ihr rechnen lässt, tritt sie aber im Alltag auf: Das Seitenverhältnis bei einem Blatt der DIN-Norm beträgt immer 1 zu Wurzel aus 2.
Die Division mit 7 ist leicht, wenn man sich die Zahlenkombination 142857 merkt: Dies sind die Nachkommastellen der Division, die - je nach Ausgangszahl - an verschiedenen Stellen beginnen und sich immer periodisch wiederholen. Dank des Ohrwurmcharakters des Songs vergisst man die Information nicht mehr.
Wie berechnet man das Volumen einer Kugel und wie ihren Oberflächeninhalt? Dieser Song nennt in Rap-Form die passenden Formeln, leitet sie her und führt den Beweis. Unter anderen findet dabei das Prinzip von Cavalieri Anwendung. Dank des eingängigen Raps behalten die SchülerInnen die Informationen besser.
Wie hängen die Möndchen des Hippokrates mit dem Satz des Pythagoras zusammen, und was hat das alles mit dem Satz des Thales zu tun? Dieser eingängige Song bietet einen guten Überblick über die Zusammenhänge der Formeln und zeigt, wie man mit ihnen auf einfache Weise Flächeninhalte berechnen kann.
In diesem Song wird zunächst der Sinussatz formuliert, was im Refrain wieder aufgegriffen wird. Mittels Rap wird der Satz hergeleitet und bewiesen. Da der Song eingängig ist und man sich leicht erinnern kann, werden die Schüler und Schülerinnen danach die Formel nicht so schnell wieder vergessen.
Es gibt zahlreiche grundlegende Konzepte für die Vektorrechnung im dreidimensionalen euklidischen Raum. Dieser Rap-Song fasst sie zusammen, gibt einen Überblick und erläutert die jeweiligen Vorgehensweisen. Dank der Ohrwurm-Qualitäten erinnern sich die Zuschauer an die Feinheiten der Vektorrechnung.
Der Song beginnt damit, dass der Kosinus formuliert wird. Im Refrain wird das Ganze wiederholt, damit es sich einprägt. Im Rap-Part wird die Regel hergeleitet, bewiesen und ihre Anwendung an Beispielen demonstriert. Der Song ist gewohnt eingängig und sorgt dafür, dass die Schüler die Informationen behalten.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten der der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse entspricht: a2+b2+c2. Der Ohrwurm liefert den geometrischen Beweis mit der ersten binomischen Formel und formuliert auch die Umkehrung auf einprägsame Art und Weise.
Wer sich fragt, wofür er Mathematik im wirklichen Leben brauchen soll, bekommt hier einige Beispiele genannt: Wer in den Urlaub fahren möchte, sollte die Strecken und die Zeit, die er dafür braucht, ebenso berechnen können wie den Wert der Landeswährung in Euro. Mit Ohrwurm-Qualität gegen das Vergessen!
Die Zahlen zwischen 11 und 19 lassen sich mit einem einfachen Trick leicht im Kopf miteinander multiplizieren. Wie das funktioniert, erklärt dieser Song. Teil des Textes sind auch der Beweis der Regel und ihre Herleitung. Da das Lied wie üblich Ohrwurm-Qualität hat, bleiben die Informationen auch hängen.
Ein Matherätsel wird in Songform erklärt: Wie lässt sich mit nur dreimaligem Wiegen eine von 13 Kugeln finden, die ein anderes Gewicht hat als die anderen zwölf, wenn dafür lediglich eine Balkenwaage zur Verfügung steht? Der Song stellt das Rätsel vor und erläutert die Lösung in gewohnter Ohrwurm-Qualität.
Beim Ziegenproblem verbergen sich hinter drei Türen ein Auto und zwei Ziegen. Man wählt eine Tür, dann wird eine Tür mit Ziege geöffnet. Soll man noch wechseln oder nicht? Der Song erklärt, warum die Chance auf Auto und Ziege nicht 50:50 steht. Und dank des Ohrwurms vergisst man das nicht so schnell wieder.
In diesem eingängigen Song wird der Beweis erbracht, dass der Kosinus die Ableitung vom Sinus ist. Zum Rap im Song wird mithilfe animierter Grafiken gezeigt, wie man diesen Fakt am Funktionsgraph sehen kann. Auch die Stammfunktionen von Sinus und Kosinus lassen sich wiederum durch Kosinus und Sinus finden.
Wie genau funktioniert die partielle Integration? Der Song transportiert die Regel zur Anwendung und gibt mehrere Beispiele für die Berechnung. Zusätzlich erklärt ein Rap, wie die Regel hergeleitet und wie sie bewiesen wird - und dank der Ohrwurmqualität des Songs bleiben die Informationen lange im Kopf.
Beim Multiplizieren und Dividieren von Potenzen greifen Potenzgesetze, wenn ein gleicher Exponent oder eine gleiche Basis vorliegt. Dieser Ohrwurm erklärt, wie das funktioniert, und beschreibt die Vorgehensweise bei negativen Exponenten sowie den Grund, weshalb die Wurzel gleich ½ im Exponenten ist.
Auch in diesem Video wird die a-b-c-Formel (also die Mitternachtsformel) erklärt. Sie erlaubt das Lösen von quadratischen Gleichungen. Der Song erläutert außerdem die Herleitung sowie den Beweis der Formel - mit gewohntem Ohrwurm-Potenzial zum leichteren Erinnern, dieses Mal aber in englischer Sprache.
Es gibt verschiedene Regeln, die den Umgang mit quadratischen Funktionen erleichtern. In diesem Song wird mit eingängiger Melodie erklärt, wie man die Nullstelle findet, warum es mal eine, mal zwei und mal gar keine Nullstelle gibt und was man tun kann, um möglichst rasch die Extremstelle zu identifizieren.
Die geometrische Reihe ist eine wichtige unendliche Summe. Wer ihr Konvergenzverhalten versteht, kann mit ihr arbeiten. Dieser Song erklärt mit einer eingängigen Melodie die Formel für den Grenzwert, ehe dann im Rap erläutert wird, wie man sie herleitet und mit welchen Mitteln man sie beweisen kann.
Nicht immer bietet die normale Schulmethode den schnellsten Berechnungsweg: Dieser Film erklärt, wie man mit geschicktem Addieren und Multiplizieren zweier Brüche rascher ans Ziel kommt. Dafür werden die Regeln der indischen "vedischen Mathematik" in einem Song erklärt, an dem man sich gut erinnern kann.
Wie viel Fläche hat eigentlich eine Pizza? Um das herauszufinden, muss man die Formel für die Berechnung der Fläche eines Kreises benutzen, die hier in einem Rap genannt und hergeleitet wird. Die Zuhörer können nicht nur die Formel gut behalten, sondern erinnern sich auch der visuellen Veranschaulichung.
Auch wenn der Satz im Alltag nicht häufig Anwendung findet, wird hier in Liedform erklärt, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Es wird der ein Widerspruchsbeweis geführt und gezeigt, dass es keine Möglichkeit gibt, die Wurzel aus 2 in einem Bruch zu schreiben - was der Fall wäre, wäre sie rational.
Wie sollte man in einem Spiel vorgehen, wenn man mit unterschiedlich hohen Punktzahlen zu verschieden starken Attacken befähigt wird? Dieses Video erklärt auf verständliche Weise, wie sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung in einer Alltagssituation anwenden lässt - und dabei die Gewinnchancen erhöht.
Quadratische Gleichungen lassen sich unter gewissen Umständen einfach im Kopf lösen: Vor allem, wenn ganze Zahlen die Lösungen sind, lässt sich der Satz von Vieta relativ leicht anwenden. Wie dieser lautet und wie man ihn anwendet, wird in diesem Video an mehreren konkreten Beispielen demonstriert.
Die Film Flat bietet über 8.000 rechtssichere Unterrichtsfilme für alle Schulformen, Fächer und Altersklassen. Das Angebot umfasst Lehrfilme, Dokumentationen und Spielfilme. Lehrkräfte können die Videos streamen, herunterladen und mit ihren Schülerinnen und Schülern teilen.
In diesem Video wird mittels eines Sprechgesangs erklärt, wie man Primzahlen definiert, was es mit der Primfaktorzerlegung auf sich hat, warum jede Zahl aus Primzahlen zusammengesetzt ist und wie man mit ihnen rechnen kann. Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, besagt bereits der Satz des Euklid.
Beim Bundeswettbewerb Mathematik 2021 wird eine Aufgabe gestellt, die ein Färbungsproblem in einem dreidimensionalen Raum betrifft. Die einzelnen Möglichkeiten sind so vielfältig, dass es einfacher ist, das Problem mittels Perspektivwechsel aus dem drei- in den zweidimensionalen Raum zu übertragen.
Die Kombination aus Startbild und Titel ist verwirrend - die meisten Zuschauer würden nicht auf 4 kommen. Aber vielleicht ist ja auch 4!, also 4 Fakultät gemeint? Anhand dieses Beispiels wird erklärt, dass Mathematik auch eine Sprache ist und für korrekte Interpretation eindeutige Schreibweisen benötigt.
Beweise, dass es keine rationalen Zahlen x, y und z gibt, sodass die Summe x+y+z gleich 0 und gleichzeitig die Summe der Quadrate x2+y2+z2 gleich 100 ist. Das war eine Aufgabe beim Bundeswettbewerb Mathematik 2020. Dieser Film zeigt den Widerspruchsbeweis, den zu finden mehrere Tage gedauert hat.
22/7 gilt als Näherung an die Kreiszahl Pi. Mit dem im Video gezeigten Integral kann man durch die Polynomdivision beweisen, dass Pi etwas kleiner ist als 22/7. Für die Lösung muss man über den arctan Bescheid wissen und das Pascalsche Dreieck nutzen. Der Mathesong zur Polynomdivision erleichtert die Rechnung.
Die Teilbarkeitsregeln für 7 lassen sich etwas weniger leicht herleiten als die für andere Zahlen. Aber es gibt sie: Im Video werden mehrere von ihnen zunächst anhand von Beispielen vorgestellt und dann gezeigt, wie diese Verfahren sich in Formeln umwandeln lassen und daher ganz regelmäßig funktionieren.
Es ist gut belegt, dass Pi irrational ist. Wie sehr allerdings, war auch in der jüngsten Geschichte noch Forschungsgegenstand. Das Video erklärt mit Animationen, wie man die Irrationalität einer reellen Zahl dadurch beschreiben kann, wie gut sie sich durch rationale Zahlen mit kleinem Nenner annähern lässt.
Die meisten Nachkommastellen bei der Division mit Zahlen bis 9 sind relativ leicht zu merken, nur die der Division mit sieben fallen etwas aus dem Rahmen. Dieses Video zeigt die Muster auf, die sich darin verbergen, und bietet gute Eselsbrücken, mit denen man sich die Nachkommastellen leicht merken kann.
Man kann Konstanten sowohl in Summen als auch in Produkten ableiten. Dieser Song erläutert, wie das im jeweiligen Fall funktioniert. Die Schüler können sich durch den eingängigen Rap besser an die Regeln erinnern: Eine Konstante hat die Ableitung 0, und die Auswirkungen davon beschreibt das Lied genau.
Vertiefend zum vorangegangenen Erklärvideo "Schriftliches Wurzelziehen" werden hier zusätzliche Erläuterungen zu den einzelnen Schritten der Beispielrechnung gegeben: Unter anderem wird gezeigt, wie man die ungefähre Einordnung der einzelnen Schritte mithilfe der binomischen Formel vornehmen kann.
Bei der Kombinatorik kann man schnell den Überblick verlieren. Dieser Rap-Song erklärt die wichtigen Formeln und Konzepte des Themas und erläutert sie an Beispielen aus dem Alltag: Lottoscheine, Wettläufe und Zahlenschlösser sind den Zuhörern bekannt, sodass sie die Anwendung der Kombinatorik verstehen.
In diesem Video wird erklärt, was es mit dem Pascalschen Dreieck auf sich hat: Es lassen sich die Binomialkoeffizienten daraus ablesen. Nutzt man nur Nullen und Einsen im Pascalschen Dreieck, zeigen sich in den erstellten zugehörigen Grafiken selbstähnliche Strukturen, die das Sierpinski-Dreieck bilden.
Um den Sinus-Wert eines Winkels zu bestimmen, braucht man ein rechtwinkliges Dreieck mit bekannten Winkeln und Seitenlängen. Der Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Es wird gezeigt, dass es relativ einfach ist, sich die Sinuswerte der Winkel mit 30 °, 45 °, 60° und 90° zu merken.
Anhand eines Ziegels mit Normalformat wird in diesem Video erklärt, was ein Euler-Ziegel ist: Er zeichnet sich dadurch aus, dass alle seine Kantenlängen und seine Seitendiagonalen ganzzahlig sind. Bislang ist unbewiesen, ob es den perfekten Euler-Ziegel gibt, in dem auch die Raumdiagonalen ganzzahlig sind.
Die Mathematik-Software LaTeX kennt von Haus aus zunächst keine Umlaute. Es gibt aber gleich mehrere Möglichkeiten, wie man sie dem Programm "beibringen" kann. Im Video werden die Optionen vorgestellt und erklärt, dass es am verwendeten Editor liegen kann, wenn dennoch Fehlermeldungen angezeigt werden.
Exponentialfunktionen wachsen, wie der Name bereits sagt, exponentiell schnell. An die Geschwindigkeit des Wachstums der Fakultät reichen sie aber nicht heran. Dieser Film erläutert die Gründe und zeigt auf, was man noch alles erkennen kann, wenn man das Wachstum von Funktion und Fakultät genau betrachtet.
Die Auswirkungen von a und c sind in quadratischen Funktionen leicht zu erkennen: a streckt, staucht oder spiegelt den Graphen, c verschiebt ihn. Mit denen des b sieht es anders aus. Dieser Film erklärt, welche Verschiebungen b veranlasst und dass der Funktionswert an der Stelle 0 nicht geändert wird.
Es wird relativ selten bewiesen, dass Pi irrational ist. Dabei lässt sich dieser Beweis mithilfe der Integral- und der Differenzialrechnung leicht führen: Die Annahme, dass Pi rational sei, führt zu Widersprüchen. Der eingängige Rap sorgt dafür, dass die Zuschauer die Beweisführung nicht vergessen.
Bei der Eulerschen Zahl handelt es sich um eine wichtige mathematische Konstante. Dieser Rap beweist, dass sie irrational ist. Das gelingt mit dem indirekten Beweis und der Tatsache, dass die These, dass e rational sei, stets zu einem Widerspruch führt. Dank des Ohrwurms bleiben die Informationen im Kopf.
Hängen Funktionsscharen von einem Parameter ab, kann dieser Extrem- oder Wendepunkte verschieben. Bei der Betrachtung der Orte, die möglich sind, erhält man die Ortskurve. Dieser Song erläutert in Ohrwurm-Form, nach welchen Regeln man eine Ortskurve finden kann, und gibt dafür nachvollziehbare Beispiele.
Die Quotientenregel ist eine Regel für die Ableitung des Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen, die sich auf die Ableitungsberechnung für die Einzelfunktionen stützt. Der eingängige Song erläutert die Herleitung der Regel, erklärt, wie man elementare Umformungen vornimmt und hilft beim Erinnern.
Man spricht von der a-b-c-Formel, weil man mit ihr Gleichungen vom Typ ax2+bx+c=0 löst - und von der Mitternachtsformel spricht man, weil die Schüler sie am besten auch mitten in der Nacht wiedergeben können sollten. Die Formel wird hier in einen eingängigen Rap verpackt, der das Erinnern erleichtert.
Lange Zeit wusste niemand, was der Grenzwert der Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen ist. Euler schließlich stellte 1735 fest, dass es sich um Pi²/6 handelt. Die Lösungsmethoden, die Nullstellen, Sinuskurven, die Taylorreihe, Polynomen und die Riebmannsche Vermutung umfassen, werden im Video gezeigt.
In den reellen Zahlen ist es nicht möglich, eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen. In manchen Fällen kann es bei komplexen Zahlen durchaus praktisch sein, allerdings ergeben sich daraus verschiedene mathematische Probleme, etwa die Uneindeutigkeit oder die Nichtanwendbarkeit von Rechenregeln.
Wenn in einem Spiel zwei Teams gegeneinander antreten, kann man nach jeder Runde neue Teams bilden, damit jeder einmal mit jedem anderen gespielt hat. Je nach Spieleranzahl geht das relativ schnell, aber es gibt auch Anzahlen, bei denen das innerhalb weniger Runden nicht möglich ist, wie das Video zeigt.
In der Fußballweltmeisterschaft spielen in der Gruppenphase acht Gruppen jeweils sechs Partien, in der K.o.-Runde folgen weitere 16 Spiele. Diese alle korrekt vorherzusagen, ist immens unwahrscheinlich. Für ein einzelnes Land gibt es aber nur 432 Möglichkeiten - das kann ein Haustier theoretisch schaffen.
Die vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, mit dem man Aussagen belegen kann, die für alle natürlichen Zahlen gelten. Mit dem Induktionsanfang zeigt man die Aussage für den Startwert und führt dann mit Induktionsschritten, Induktionsvoraussetzungen und Umformungen die vollständige Induktion durch.
Bei YouTube versteckt sich das sogenannte Fibonacci-Easter-Egg. Es wird erklärt, wer Fibonacci war und was es mit der Fibonacci-Zahlenfolge auf sich hat. Der Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt wird erläutert und es wird demonstriert, wie man die Zahlenfolge durch Multiplikation erstellen kann.
Was 0 hoch 0 ist, ist nicht genau definiert. Taschenrechner geben je nach Modell 1, Error oder nicht definiert an. In diesem Film wird gezeigt, welche Möglichkeiten es gibt, weshalb sie alle nicht immer stimmen können und warum es manchmal einfacher oder praktischer ist, einen bestimmten Wert anzunehmen.
Der Mathematiker David Hilbert hatte den Gedanken vom Hotel mit unendlich vielen Zimmern. Das Konzept wird im Video erklärt und es wird gezeigt, weshalb ? +1 = ?. Die Besonderheiten der Unendlichkeit werden für natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen anhand verschiedener Beispiele erläutert.