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Wie viel Fläche hat eigentlich eine Pizza? Um das herauszufinden, muss man die Formel für die Berechnung der Fläche eines Kreises benutzen, die hier in einem Rap genannt und hergeleitet wird. Die Zuhörer können nicht nur die Formel gut behalten, sondern erinnern sich auch der visuellen Veranschaulichung.
Beim Ziegenproblem verbergen sich hinter drei Türen ein Auto und zwei Ziegen. Man wählt eine Tür, dann wird eine Tür mit Ziege geöffnet. Soll man noch wechseln oder nicht? Der Song erklärt, warum die Chance auf Auto und Ziege nicht 50:50 steht. Und dank des Ohrwurms vergisst man das nicht so schnell wieder.
Wie sollte man in einem Spiel vorgehen, wenn man mit unterschiedlich hohen Punktzahlen zu verschieden starken Attacken befähigt wird? Dieses Video erklärt auf verständliche Weise, wie sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung in einer Alltagssituation anwenden lässt - und dabei die Gewinnchancen erhöht.
Bei der Kombinatorik kann man schnell den Überblick verlieren. Dieser Rap-Song erklärt die wichtigen Formeln und Konzepte des Themas und erläutert sie an Beispielen aus dem Alltag: Lottoscheine, Wettläufe und Zahlenschlösser sind den Zuhörern bekannt, sodass sie die Anwendung der Kombinatorik verstehen.
Auch wenn der Satz im Alltag nicht häufig Anwendung findet, wird hier in Liedform erklärt, dass die Wurzel aus 2 irrational ist. Es wird der ein Widerspruchsbeweis geführt und gezeigt, dass es keine Möglichkeit gibt, die Wurzel aus 2 in einem Bruch zu schreiben - was der Fall wäre, wäre sie rational.
Bei der Eulerschen Zahl handelt es sich um eine wichtige mathematische Konstante. Dieser Rap beweist, dass sie irrational ist. Das gelingt mit dem indirekten Beweis und der Tatsache, dass die These, dass e rational sei, stets zu einem Widerspruch führt. Dank des Ohrwurms bleiben die Informationen im Kopf.
Es wird relativ selten bewiesen, dass Pi irrational ist. Dabei lässt sich dieser Beweis mithilfe der Integral- und der Differenzialrechnung leicht führen: Die Annahme, dass Pi rational sei, führt zu Widersprüchen. Der eingängige Rap sorgt dafür, dass die Zuschauer die Beweisführung nicht vergessen.
Exponentialfunktionen wachsen, wie der Name bereits sagt, exponentiell schnell. An die Geschwindigkeit des Wachstums der Fakultät reichen sie aber nicht heran. Dieser Film erläutert die Gründe und zeigt auf, was man noch alles erkennen kann, wenn man das Wachstum von Funktion und Fakultät genau betrachtet.
Es gibt zahlreiche grundlegende Konzepte für die Vektorrechnung im dreidimensionalen euklidischen Raum. Dieser Rap-Song fasst sie zusammen, gibt einen Überblick und erläutert die jeweiligen Vorgehensweisen. Dank der Ohrwurm-Qualitäten erinnern sich die Zuschauer an die Feinheiten der Vektorrechnung.
Die Mathematik-Software LaTeX kennt von Haus aus zunächst keine Umlaute. Es gibt aber gleich mehrere Möglichkeiten, wie man sie dem Programm "beibringen" kann. Im Video werden die Optionen vorgestellt und erklärt, dass es am verwendeten Editor liegen kann, wenn dennoch Fehlermeldungen angezeigt werden.
Anhand eines Ziegels mit Normalformat wird in diesem Video erklärt, was ein Euler-Ziegel ist: Er zeichnet sich dadurch aus, dass alle seine Kantenlängen und seine Seitendiagonalen ganzzahlig sind. Bislang ist unbewiesen, ob es den perfekten Euler-Ziegel gibt, in dem auch die Raumdiagonalen ganzzahlig sind.
Um den Sinus-Wert eines Winkels zu bestimmen, braucht man ein rechtwinkliges Dreieck mit bekannten Winkeln und Seitenlängen. Der Sinus ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Es wird gezeigt, dass es relativ einfach ist, sich die Sinuswerte der Winkel mit 30 °, 45 °, 60° und 90° zu merken.
In diesem Video wird erklärt, was es mit dem Pascalschen Dreieck auf sich hat: Es lassen sich die Binomialkoeffizienten daraus ablesen. Nutzt man nur Nullen und Einsen im Pascalschen Dreieck, zeigen sich in den erstellten zugehörigen Grafiken selbstähnliche Strukturen, die das Sierpinski-Dreieck bilden.
Vertiefend zum vorangegangenen Erklärvideo "Schriftliches Wurzelziehen" werden hier zusätzliche Erläuterungen zu den einzelnen Schritten der Beispielrechnung gegeben: Unter anderem wird gezeigt, wie man die ungefähre Einordnung der einzelnen Schritte mithilfe der binomischen Formel vornehmen kann.
Quadratische Gleichungen lassen sich unter gewissen Umständen einfach im Kopf lösen: Vor allem, wenn ganze Zahlen die Lösungen sind, lässt sich der Satz von Vieta relativ leicht anwenden. Wie dieser lautet und wie man ihn anwendet, wird in diesem Video an mehreren konkreten Beispielen demonstriert.
Man kann Konstanten sowohl in Summen als auch in Produkten ableiten. Dieser Song erläutert, wie das im jeweiligen Fall funktioniert. Die Schüler können sich durch den eingängigen Rap besser an die Regeln erinnern: Eine Konstante hat die Ableitung 0, und die Auswirkungen davon beschreibt das Lied genau.
Die meisten Nachkommastellen bei der Division mit Zahlen bis 9 sind relativ leicht zu merken, nur die der Division mit sieben fallen etwas aus dem Rahmen. Dieses Video zeigt die Muster auf, die sich darin verbergen, und bietet gute Eselsbrücken, mit denen man sich die Nachkommastellen leicht merken kann.
Es ist gut belegt, dass Pi irrational ist. Wie sehr allerdings, war auch in der jüngsten Geschichte noch Forschungsgegenstand. Das Video erklärt mit Animationen, wie man die Irrationalität einer reellen Zahl dadurch beschreiben kann, wie gut sie sich durch rationale Zahlen mit kleinem Nenner annähern lässt.
Die Teilbarkeitsregeln für 7 lassen sich etwas weniger leicht herleiten als die für andere Zahlen. Aber es gibt sie: Im Video werden mehrere von ihnen zunächst anhand von Beispielen vorgestellt und dann gezeigt, wie diese Verfahren sich in Formeln umwandeln lassen und daher ganz regelmäßig funktionieren.
In diesem Song wird zunächst der Sinussatz formuliert, was im Refrain wieder aufgegriffen wird. Mittels Rap wird der Satz hergeleitet und bewiesen. Da der Song eingängig ist und man sich leicht erinnern kann, werden die Schüler und Schülerinnen danach die Formel nicht so schnell wieder vergessen.
Der Song beginnt damit, dass der Kosinus formuliert wird. Im Refrain wird das Ganze wiederholt, damit es sich einprägt. Im Rap-Part wird die Regel hergeleitet, bewiesen und ihre Anwendung an Beispielen demonstriert. Der Song ist gewohnt eingängig und sorgt dafür, dass die Schüler die Informationen behalten.
Der eher unbekannte Putzer-Algorithmus, der vor allem im Bauingenieurwesen unterrichtet wird, hilft bei der Bestimmung der Matrixexponentialfunktion. Dieses Video erklärt, was die Matrixexponentialfunktion ausmacht, und zeigt, auf welche Weise man den Putzer-Algorithmus für ihre Bestimmung anwendet.
Hängen Funktionsscharen von einem Parameter ab, kann dieser Extrem- oder Wendepunkte verschieben. Bei der Betrachtung der Orte, die möglich sind, erhält man die Ortskurve. Dieser Song erläutert in Ohrwurm-Form, nach welchen Regeln man eine Ortskurve finden kann, und gibt dafür nachvollziehbare Beispiele.
Dass die Ableitung vom Sinus der Kosinus ist, ist nicht direkt beweisbar, aber gut beschreibbar. In diesem Video wird die mathematische Tatsache noch einmal grafisch erklärt: Werden am Winkel im Einheitskreis kleine Änderungen durchgeführt, lässt sich die Veränderung des Sinus durch den Kosinus ausdrücken.
Das Video beschreibt, wie man mithilfe der Potenzreihendarstellung zeigen kann, dass die Ableitung vom Sinus der Kosinus ist: Durch die Ableitung für die Potenz wird die Ableitung des Sinus gefunden, und diese ist die Potenzreihe des Kosinus. Das lässt sich mittels grafischer Darstellung überprüfen.
Es ist möglich, unterschiedliche Zusammenhänge bei trigonometrischen Funktionen durch die komplexe Exponentialfunktion herzustellen, wenn man komplexe Zahlen verwendet. Hier wird gezeigt, wie man die Darstellung von Sinus und Kosinus als Linearkombination der komplexen Exponentialfunktion anwendet.
Man erzählt sich, dass Carl Friedrich Gauß als Schüler die Strafaufgabe bekommen habe, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Dies sei der Moment gewesen, in dem er die allgemeine Formel für die Summe aller Zahlen 1 bis n entdeckte. Ob das stimmt, sei dahingestellt - die Formel ist jedenfalls hilfreich.
In diesem Video wird erklärt, was es mit den Bernsteinpolynomen auf sich hat, auf denen die Bézierkurve basiert. Letztere wird in zahlreichen Grafikprogrammen wie Photoshop genutzt, wenn eine geschwungene Kurve benötigt wird. Für Grafiker und Designer findet hier Mathematik also praktische Anwendung.
Die Polynomdivision wird in einem eingängigen Lied erläutert, sodass die Schüler sie sich anhand der Melodie besser merken können. Es werden im Video verschiedene Beispiele angeführt, erklärt und durchgerechnet, in denen gezeigt wird, was es mit der Polynomdivision mit und ohne Rest auf sich hat.
In diesem Video werden die erste, die zweite und die dritte binomische Formel in einem Song hergeleitet und erläutert. So können sich die Schüler die Formeln, die zu den wichtigsten mathematischen Formeln überhaupt gehören, leichter merken. Am Ende folgt ein Hinweis auf einen häufig begangenen Fehler.